Major Lászlót, az ELTE TÁTK Statisztika tanszékének adjunktusát kérdeztük a matematika hasznosságáról, a formális logikáról és a diszkrét geometriáról. Nem csak diszkréten.
Voltaképpen milyen részét képezi a logika a matematikának?
A logika tulajdonképpen egy önálló része a matematikának. Én elsősorban a munkám során, matematikai kutatás során alkalmazom, pontosan azért, mert egy tudományos cikk megköveteli azt, hogy az érvek tökéletesen, logikusan legyenek egymásra építve. Az oktatás során nyilván nem tudományos munkára készítsük föl a diákokat, de kell adnunk az elején valamilyen motivációt, ami indokolttá teszi a logika tanításának létjogosultságát. Onnantól kezdve, hogy fölvázolom az egész értelmét, megpróbálok – amennyire lehetséges – absztrakt fogalmakkal dolgozni, és matematikai megközelítésben hozzányúlni a témához.
Ha valaki szeretne elkezdeni foglalkozni a logikával, hol érdemes kezdenie?
Természetesen semmi baj a „lókötős” feladatokkal, ha valaki nem akarja tudományos szinten művelni a logikát, de a formális logika megismeréséhez is rengeteg olyan tankönyv áll rendelkezésre, amiből az érdeklődő megismerheti a logika alapműveleteit, fogalmait, az igazságtáblázatokat, igazságfüggvényeket, és az érvelés hibalehetőségeit.
Hoznék egy példát: nemrég találkoztam azzal a feladattal, hogy tíz darab matematikában és logikában jó oroszlánnak bedobnak egy darab húst – azzal a feltétellel, hogy mindegyik oroszlánnak az adott napon ennie kell, különben napnyugtakor meghal, illetve, ha valamelyikük megeszi a húst, akkor ő is hússá válik, és így a többiek megehetik. Nyilván egyik oroszlán sem szeretné, hogy hússá váljon. Hogyan segít egy ilyen jellegű logikai feladat megoldásában a formális logika?
A matematika minden területén igaz az, hogy egy adott kérdést nem absztrakt módon és teljes általánosságban próbáljuk megoldani, hanem leegyszerűsítjük a kérdést. Ez például egy közismert logikai fejtörő, érdemes úgy hozzáfogni, hogy először redukáljuk az oroszlánok számát.
Ha egy oroszlán van, akkor nem áll fenn az a veszély, hogy ő „hússá válik”, így természetesen bemegy a húsért, és elfogyasztja. Ha két oroszlán van, akkor még mindig elég könnyű átlátni – ugye ebben az esetben két okos oroszlán belátja azt, hogy nem mehet be megenni a húst, mert onnantól kezdve a másik áldozatává válik. Innentől pedig visszavezetődik a probléma az előző megjegyzésre, amikor csak egy oroszlán van – hiszen miután az egyik oroszlán bement, ugyanaz a szituáció, mintha csak egy lett volna. Ha három oroszlán van, és az első bemegy, akkor visszajutottunk az előző problémához, amikor csak két oroszlán volt, és arra már tudjuk, hogy mi a megoldás. Ezzel az induktív gondolkodással eljutunk a tíz oroszlánig, és beláthatjuk azt, hogy páros számú oroszlán esetén nem történik semmi, ha viszont páratlan számú oroszlán van, akkor a legokosabb közülük lesz az, aki leghamarabb realizálja a helyzetet, és beszalad megenni a húst.
Hogyan lehet a logikát a gyakorlatban alkalmazni?
Nyilvánvalóan ilyen oroszlános szituációba ritkán kerül az ember. A matematikai gondolkodásmód fejlesztésében pontosan az a lényeg, hogy egy hozzáállást, egy problémamegoldó készséget alakítson ki, ami tulajdonképpen kreatív megoldási módokhoz vezet.
A logikán túl mi tartozik a szakterületéhez?
Az úgynevezett diszkrét geometria, vagy kombinatorikus geometria területén dolgozom. Ez annyit jelent, hogy egy bizonyos geometriai objektum formája helyett azok részeinek egymáshoz való viszonyulását vizsgálom
Ezt hogyan kell elképzelni a gyakorlatban?
Olyasmik érdekelnek, hogy mi a háromszög és a négyszög közötti viszony – persze sokkal magasabb dimenziókban, amiket nem, vagy legalábbis nehezen tudunk elképzelni. A négy dimenzióról még van annyi fogalmunk, hogy a téridő így képzelhető el –öt dimenzióban nincs is olyan valós modell, amelynek segítségével ezt átgondolhatnánk. Mindenesetre a matematikai absztrakció elvisz bennünket odáig, hogy nagyon magas dimenziókról is tudjunk formális állításokat tenni. Ezeknek kombinatorikus jellegű vonatkozásaik is vannak – a háromdimenziós kockáról tudjuk, hogy van nyolc darab csúcsa, tizenkét darab éle, és hat darab lapja. Ennek az objektumnak van magasabb dimenziós változata – vagy analógja – is, amit úgy hívnak, hogy hiperkocka. Ezt a négydimenziós kockát még úgy-ahogy el lehet képzelni – például úgy, hogy egy nagy kockában benne van egy kisebb kocka, és a megfelelő csúcsok össze vannak kötve élekkel. Ebben a kockában – a négydimenziósban – is meg lehet számolni azt, hogy hány csúcsa van, hány éle van, hány lapja, és így tovább. Ilyen típusú kérdésekkel foglalkozom: miből mennyi van a sokdimenziós geometriai objektumokba, és ezek kombinatorikusan hogyan kezelhetők, és milyen viszonyban vannak egymással.
Hol és hogyan hasznosítható a diszkrét geometria a gyakorlatban?
Tegyük föl, hogy valaki sertés-nevelésből él, és szeretné meghatározni, hogy milyen alapanyagokat keverjen a takarmányba. Tisztában van vele, hogy az egyes alapanyagok milyen tápanyagértékekkel bírnak. Van egy árlistája is, hogy mi mennyibe kerül, továbbá adott egy határértéke annak, hogy legalább mennyi fehérjét kell tartalmaznia a végső keveréknek. Ezek alapján szeretné optimálisan meghatározni azt, hogy milyen összeállítású legyen a takarmány.
Az imént sorolt feltételek meghatároznak egy síkot a térben. Ezek a síkok – feltételenként egy – körbezárnak egy térbeli objektumot, amiben keressük az optimális pontot, ami a legolcsóbb értéket, árat szolgáltatja. Ezt hívják operációkutatásnak. Ilyen helyzetekben megjelennek geometriai objektumok, és ezeket vizsgáljuk a diszkrét geometria tudományágában is. Általában ennél sokkal bonyolultabbak ezek a feltételek, és ilyenkor már nem kocka lesz, hanem valami más, síklapokkal határolt test, amit a szakmánkban politópnak hívnak. Én tulajdonképpen politópelmélettel foglalkozom, tehát ezeknek az objektumoknak a kombinatorikus tulajdonságait vizsgálom. Jelenleg a kutatási eredményeimnek nincs közvetlen gyakorlati haszna, de ki tudja, hogy talán 20–30 év múlva egy optimalizációs kutatásban résztvevő kutató valamilyen módon tudja-e használni azokat az eredményeket, amelyeket én kitalálok. Előbb-utóbb remélhetőleg lesz gyakorlati alkalmazása is.
Mit tanácsolnál azoknak, akik el szeretnének kezdeni matematikával foglalkozni, vagy csak egyszerűen azoknak, akiknek nem igazán megy jól, esetleg nem szeretik?
Forduljon pszichológushoz, aki nem szereti a matematikát – szerintem mindenkiben van valamiféle személyes ellenszenv, amiért nem érti, hiszen a matematika annyira tiszta, és egyszerű, nincsenek benne fehér foltok. A matematikus közösség nem fogad el valamit addig, amíg a legkisebb bizonytalanság is jelen van. Éppen ezért nem mondhatja senki, hogy nem érti, ugyanis minden egyes alkotóelem rendelkezésre áll ahhoz, hogy összeálljon a kép. Vannak olyan tudományterületek, ahol egy kicsit „sumákolnak”, tehát egyesek személyes, intuitív megérzéseit is belepakolják tudományos munkásságukba, és ez lehet „érthetetlen”, de a matematikában ilyen nem létezik.
Azt gondolom, ha valaki nem ért valamit, az kimondottan a személyes negatív attitűdjéről szól – és persze arról, hogy bizonyos fogalmakat nem ismer. Ezek azonban egymásra épülnek, és minden egyes fogalmat le lehet valahol ellenőrizni, visszalépve akár az alapokig. Semmiféle ördöngösség nincs a matematikában sem, mégis kialakul valamiképp – akár gyermekkorban – egy erős negatív attitűd az emberekben. Emlékszem, alsós koromban egyáltalán nem vonzódtam a matematikához, mert valamiért a tanárunk nem erősítette meg bennem azt, hogy ebben bármi szépség lenne – sokkal jobban érdekeltek a természettudományok, ötödik osztályban viszont kaptunk egy olyan matematikatanárt, aki csodálatos módon tárta elénk a tárgy szépségeit, és az általa szerzett motiváció kitartott utána egész felnőttkoromig. Nagy jelentősége van annak, hogy az ember milyen élményeket szerez korai tanulmányai során.
A másik kérdés, hogy miért is érdemes a matematikával összebarátkozni? Szerintem az egyik legkényelmesebb munka olyan szempontból, hogy fizikai megterhelést egyáltalán nem igényel, kell hozzá egy ceruza, egy toll – élesebb elméjűeknek még arra sincs szükségük, hanem csak fejben mindent végiggondolnak – nekem még nagyon fontos egy kényelmes fotel, de igazából semmi másra nincs szükség. Nem szükséges például semmiféle intézmény a háttérbe, az egészet lehet mindennemű körülményektől teljesen függetlenül is művelni. Az eddigi legjelentősebb eredményeimet úgy hoztam ki, hogy éppen rám sütött a nap valami vízparton.
Van olyan matematikai probléma, amelynek a megoldásán most dolgozik?
Szerintem matematikusok körében nagyon ritka az, hogy megoldandó kérdések híján lenne, sőt, exponenciálisan nő azon problémáknak a száma, amiken szeretne elgondolkodni, de az időnk korlátozott – ráadásul minden egyes megoldott probléma felvet tíz másik újat. Az embernek valahogyan itt is folyamatosan optimalizálnia kell. A konkrét kérdésre válaszolva: a diszkrét geometrián belül szeretnék valamilyen összefüggést keresni – és találni – statisztikai problémákkal, tehát úgynevezett stochasztikus vektoroknak a térbeli elrendeződésén szeretnék gondolkodni. Tulajdonképpen arról van szó, hogy bizonyos valószínűségeket kifejező értékeket pakolunk egymás után sorozatba – nulla és egy közé eső számok sorozata tehát –, amit én beteszek egy koordinátarendszerbe, egy magasabb dimenziós térbe, a dimenziók száma pontosan annyi, ahány eleme van az adott sorozatnak.
Tudna nekünk ajánlani egy olyan filmet, ami egy picit közelebb visz a matematikához?
Az Egy csodálatos elme volt a kedvencem – elég közismert film – már csak azért is, mert azt gondolom, hogy John Nash egy olyan zseniális dolgot hozott létre, aminek elképesztő hatása volt a jelenlegi felfogásunkra, az emberiség problémáira vonatkozólag. Többek között arra adott választ, hogy miért szennyezzük a környezetet annak ellenére, hogy az országok esetleg megegyeznek egymás közt arról, hogy csökkenteni kell a károsanyag-kibocsátást. Tulajdonképpen erre adott választ John Nash: egyes országok személyes érdeke az, hogy továbbra is szennyezzék a környezetet. Ő maga választ nem adott arra, hogyan lehetne ettől a problémától megszabadulni, de mindenesetre föltárta ezeket a viselkedési módokat a különböző szereplők érdekeiről.
Kiemelt kép: wiki
