Köszönőviszonyba hozni a matekórát a valósággal – Beszélgetés gyakorlatias matematikáról, tanórai motivációról, mérnöki szemléletről

Eredetileg két külön kerekasztal-beszélgetésre került volna sor az élménynapon: az egyik annak a kérdését járta volna körül, hogy hogyan lehet matematikaórán fejleszteni az ún. STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics) területeken annyira fontos algoritmikus gondolkodást, a másik pedig a matekórák valóságközeliségének kérdését boncolgatta volna. Végül azonban összevontan bonyolították le a beszélgetéseket az egyik meghívott vendég megbetegedése miatt, utóbbi témának adva talán némiképp nagyobb hangsúlyt. A beszélgetés résztvevői:

• Csapodi Csaba, az ELTE Matematikatanítási és Módszertani Központjának oktatója, az ELTE Trefort Ágoston Gyakorlóiskolájának egykori matematikatanára;
• Gerőcs László, az ELTE Trefort Ágoston Gyakorlóiskolájának nyugdíjas matematikatanára, a Korrepeta videós oktatóprogram létrehozója;
• Koren Balázs, a Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium matematikatanára, az ELTE Matematikatanítási és Módszertani Központjának oktatója;
• Csányi Tibor, a Hunfalvy János Két Tanítási Nyelvű Közgazdasági és Kereskedelmi Szakgimnázium matematikatanára.

A beszélgetést Bozóki-Kecskés Boglárka moderálta, aki a Medve Matek szervezői csapatának tagja és magyar–matematika szakos tanárjelölt.

A beszélgetés néhány résztvevője: Gerőcs László, Koren Balázs és Bozóki-Kecskés Boglárka

A moderátor nyitógondolata szerint sokszor nehéz megértenie a matektanárnak, hogy miért jelent valami nehézséget egy diák számára. Például a törtes műveletek tipikusan ilyenek: a tanulók gyakran nehéznek ítélik a tanárok szemében alapvetőnek számító témakört. Jogosan merül fel a kérdés, hogy mi az, amit ilyenkor nem lát vagy nem vesz figyelembe a pedagógus. Csapodi Csaba úgy gondolja, hogy a tantervi nyomást nem lehet kihagyni a képletből, és a gyerekek sokszínűségét is szem előtt kell tartani. Nehézséget okoz, hogy a tantervek túl korán várják el a diákoktól a magas fokú absztrakciót olyan jelenségekről is, amelyeknek nincs kézzel fogható aspektusa (pl. negatív számokkal való szorzás). Amellett sem lehet elmenni szó nélkül, hogy az elveszített fonál után sokszor nehéz a tanulóknak visszakapaszkodni, mind szakmailag, mind lelkileg.

Gerőcs Lászlót először egy olyan feladatról faggatta a beszélgetés moderátora, amely érettségi felkészítőn részt vevő végzős diákoknak nagy fejtörést okozott, 40%-uk rosszul oldotta meg. A feladat így hangzik:

Egy kereskedő a vásárban vesz egy lovat 500 ezer forintért, majd eladja 600 ezer forintért, de később visszavásárolja 700 ezer forintért, végül pedig újra eladja 800 ezer forintért. Megérte-e, nyereséges volt-e ez a kereskedőnek?

Olyan megoldások is előfordultak, hogy a kereskedő rajtavesztett, az is felmerült a diákokban, hogy nullára jött ki összességében a tranzakció, illetve arra is gondoltak valamennyien, hogy nyert az ügylettel a feladat szereplője. Az eset legfőbb tanulsága, hogy a modellkezeléssel ellentétben a modellalkotás sokszor nem megy jól a diákoknak: azaz például egyenletet megoldani vagy ábrát leolvasni jóval egyszerűbb számukra, mint felírni egy egyenletet vagy megrajzolni egy ábrát szöveg alapján. Ezen kívül a gondolkodás fegyelmezettségével is vannak problémák, ami asszociációs csapdákba csalja a tanulókat. Gerőcs László elmondta még, hogy a matematikai gondolkodás fejlődése lassú és nem látványos folyamat. Saját egyetemista éveire visszaemlékezve felidézte, hogy felsőbb éves korában azt nem értette, hogy miért nem értett bizonyos matematikai jelenségeket elsőévesen – tehát mintegy észrevétlenül fejlődött az évek alatt. Nehézséget okozhat a tanítás során, hogy nem maradhatnak ki lépések, mert szervesen egymásra épülnek a témakörök. Szintén nem egyszerű a diákok fejével gondolkodni: sokszor nem praktikus például úgy fogalmazni, hogy a „nevezőnek az ismeretlen kitevője”, még akkor sem, ha a tanuló egyébként önmagában a nevező és a kitevő fogalmával is tisztában van, mert lehet, hogy egyszerre nem tud ennyi információt hatékonyan megérteni – így mégiscsak meg kell próbálnia a tanárnak a diákok fejével gondolkodni.

A hallgatóság nagyrészt általános iskolai, kisebb részben középiskolai matektanárokból (és néhány kakukktojásból) állt

A matematikus szakot, majd tanárképzést végzett Koren Balázs rámutatott néhány általános jellegű dologra is a matematikatanári pályával kapcsolatban. Egyrészt arra, hogy a matektanár számára fontos élmény, ha ő maga nem ért valamit, ez a tapasztalat ugyanis segít a diák kudarca esetén empatikusnak maradni – ez a megállapítás egyébként nyilván más szakos tanárokra vonatkozóan is igaz lehet. Másrészt azt is felvetette, hogy sosem lesz unalmas a matematikatanári pálya, már csak a gyerekek sokfélesége miatt sem. Koren Balázs fontos elvnek tartja, hogy önmagában kevés a matekot tanítani: praktikus összekötni a matematikai feladatokat az algoritmikus gondolkodás fejlesztésével, például robotos köntösbe öltöztetett feladatokkal. A First Global Challenge robotikaversenyt megnyerő magyar csapat felkészítő tanáraként Koren Balázs elmondta, hogy a robotikafoglalkozásokon olyan tanulók is megjelentek, akiket alapvetően nem a matematika vonzott oda, hanem a kreativitás vagy az építés szeretete – de annak a megoldásához, hogy például milyen algoritmussal tudnak mozgatni egy adott pályán egy robotot, vagy hogyan tudnak a lehető legkevesebb legóból megépíteni valamilyen alakzatot, el kellett kezdeniük matematikai problémákon és miérteken is gondolkodni, így játék közben fejlődtek is.  A robotika beépítése az oktatásba a tervezőkészséget és a strukturált együttműködés kompetenciáját is fejlesztheti a diákokban, ezáltal alkalmas egyfajta mérnöki szemlélet kialakítására már az egyetemi tanulmányok megkezdése előtt.

Csányi Tibor azzal indította gondolatait, hogy bár a Hunfalvy Szakgimnázium tényleg merőben más, mint egy elitgimnázium, rengeteg olyan iskola van, ahol sokkal elemibb problémákkal kell a tanároknak és a diákoknak megküzdenie, mint náluk. A Hunfalvyba elsősorban nem a matematika, hanem az idegen nyelvek miatt jelentkeznek a tanulók, de összességében jó képességű diákok közül válogathat az intézmény. Gyengébb szakképző iskolai osztályról azonban Csányi Tibor hallott már olyan történetet is, hogy egy 45 perces óra alatt a matekérettségi első, rövid feladatokat tartalmazó részének 4 feladatával végeztek (holott az egészre van ennyi idő az érettségin, és 12 feladatból áll ez a részegység). Csányi Tibor megemlítette, hogy diákjainak ő is feladta a Gerőcs László által említett feladatot a lovat vásároló kereskedőről. A szakgimnáziumban tanulók hasonló arányban tudták a megoldást, mint a gyakorlógimnázium tanulói, a modellalkotás nehézsége tehát globális jelenségnek tűnik.

Az élménynapon kiscsoportos foglalkozásokon is részt vehettek a matematika iránt érdeklődő gyerekek

A beszélgetés moderátora, Bozóki-Kecskés Boglárka felvetette, hogy gyakori kritika a diákok részéről, hogy „nincs köze a valósághoz” a matekórán tanultaknak, és a gyakorlatias(nak szánt) példák sem népszerűek. Kérdése ezzel kapcsolatban az volt, hogy a meghívott vendégek tapasztaltak-e ilyen hozzáállást, illetve miért állhat fenn egyáltalán ez a jelenség. A beszélgetés ezen pontján érkezett egy ellenvetés a hallgatóságból: kiderült, hogy az egyik részt vevő pedagógusnak volt már olyan tapasztalata, hogy diákjai kifejezetten élményként élték meg annak a trigonometrikus úton történő kiszámítását, hogy a fiú WC ajtaja hány méterre található az osztályteremtől. Ez valóban tud életközeli kérdés lenni. Mások a nézők közül azt vetették fel, hogy a szabadulószobás tematikába ágyazott feladatok is élvezetesek a diákok számára, és azt is díjazni szokták a tanulók, ha a feladat valamilyen módon „róluk szól”, például egy olyan szituációhoz kapcsolódik a matematikai probléma, amely velük is megtörténhetne.

Gerőcs László úgy véli, kb. 15 éve van arra vonatkozó szándék a matematikatanításban, hogy a mindennapok matematikáját beépítsék az oktatásba, azonban valóban nem minden kísérlet ítélhető sikeresnek ezt illetően. Pedig valójában sokszor csak annyira lenne szükség, hogy a szakzsargon használata helyett valamilyen érdekes vagy vidám körítéssel legyen tálalva ugyanaz a matematikai probléma. Saját tapasztalatai szerint érdemes lehet tudománytörténeti megközelítést is alkalmazni, és abból kiindulni, hogy egy adott korban pontosan hogyan és miért vetődött fel valamilyen tényleges, valószerű probléma, amelynek megoldása végül matematikai választ szült.

Koren Balázs szerint egyáltalán nem motiváló, ha valószerűtlen tucatfeladatokat adunk a diákoknak, de ami talán még ennél is rosszabb, ha egy valójában unalmas feladatot ál-érdekesként próbálunk feltüntetni. Például: ha egy háromszöget átkeresztelünk háromszög alakú kertté, attól még nem biztos, hogy valószerűbb lesz a feladat, annak ellenére sem, hogy kertekkel minden bizonnyal több közvetlen tapasztalata van a diákoknak, mint önmagukért vett háromszögekkel. Nehéz azonban ezeken a tipikus paneleken átlendülni. Bozóki-Kecskés Boglárka elmondta, hogy a Medve Matek versenyfeladatainak összeállítói is törekednek arra, hogy ténylegesen izgalmas, valóságközeli feladványokat találjanak ki versenyzőiknek: ennek érdekében értékelik is saját, háziversenyen is tesztelt feladataikat a matematikai szépség, a szöveges szépség és a nehézség szempontja szerint.

A Csapodi Csaba által használt „csalétek” saját tapasztalatai alapján motiválóan hat a diákokra: sokkal vonzóbbnak tűnnek fel ugyanazok a feladatok, ha formailag egy étlapon kapják meg őket a diákok, és maguk választhatják ki néhány előétel, főétel és desszert közül, hogy melyiket szeretnék elfogyasztani – azaz megoldani. Csapodi Csaba szerint az is nagy ovációval jár, ha a pedagógus a sikeres feladatmegoldást valamilyen vicces vagy a diákokhoz bármilyen okból közel álló kivetített képpel jutalmazza. Az ELTE oktatója említett egy konkrét feladatot is, amelynek megoldása érdeklődéssel szokta eltölteni a tanulókat:

Két autó halad egymás mellett, az egyik 30 km/h-val, a másik 50 km/h-val, amikor kigurul eléjük egy labda. Az autók ugyanakkor kezdenek el fékezni, a lassabban haladó autó meg tud állni. Mennyivel fog haladni a másik autó, amikor a labdához ér?

Gerőcs László szerint a diákok azt is élvezik, ha egy tanár által megírt dolgozatban javíthatják ki a szándékosan elrejtett számszaki és elvi hibákat, majd lepontozhatják a dolgozatot. Ez természetesen sokkal több befektetett munkát igényel a pedagógus részéről, mint egyszerűen összeállítani egy dolgozatot és megíratni a diákokkal. A beszélgetés végéhez közeledve Gerőcs László mintegy csattanójelleggel tett egy egyáltalán nem matematikaspecifikus megállapítást: a legnagyobb motiváló erő, amely talán fölötte van minden didaktikai fogásnak, a tanár személyisége. Gerőcs szerint ez az aspektus tabutémának számít, sokszor elsikkad a módszertani diskurzusokban – ugyanis minden tanárnak van valamilyen alapvető személyiségmagja, amit (szélsőséges esetben) semmilyen praktikával nem lehet „felturbózni”; ő maga legalábbis több évtizedes gyakorlóiskolai vezetőtanári pályafutása során belefutott néhány szakmailag felkészült, ámde emészthetetlenül unalmas tanárjelöltbe. Hunfalvys kollégája egészen odáig merészkedett, hogy stand up comedynek minősítette a tanítást – és bizony vannak, akik egész egyszerűen nem jó stand up-osok.

A motiváció témájába illeszkedve a beszélgetés zárásaképpen Gerőcs László bemutatott néhány általa kidolgozott, nagyrészt középiskolásoknak szóló, a puszta szaknyelvnél díszesebb köntösbe öltöztetett feladatot. A legnagyobb derültséget talán az alábbi példa váltotta ki a hallgatóságból:

Rómeónak van egy 6 méteres létrája. Júlia ablakpárkánya 7,8 méter magasan található. Rómeó azonban 1,2 méterrel hátrébb támasztotta ki a létrát, mint kellett volna, így véletlenül a dadushoz mászott be. Hány méter magasan van a dadus ablaka?

A rómeós feladattól és ettől a kedves medvétől kinek ne jönne meg a kedve a matematikához?

Érdekes kísérlet a motiváció felkeltésére a feladatok 18. századi nyelvezettel történő megfogalmazása:

Mekkorák az háromszeglemény kenyeki? (Azaz: mekkorák a háromszög szögei?)

A beszélgetés végén néhány kérdés és megjegyzés hangzott el a hallgatóság soraiból. Felmerült az a dilemma, hogy érdemes-e a leglassabban haladó diák tempójához igazítani az egész osztály haladását, vagy inkább differenciálni célszerűbb. Csapodi Csaba és Csányi Tibor az utóbbi megoldás mellett tették le a voksukat: Csányi Tibor könnyű, közepes és nehéz feladatokkal is készül az óráira, hogy minden szinten álló diák profitálhasson belőlük. Koren Balázs azonban inkább úgy véli, hogy csoportfüggő a kérdés, vannak olyan osztályok, amelyekben a tehetségesebbek szívesen segítik a lassabban haladó társaikat, így ezekben a csoportokban akár az is működhet, ha a lassabban haladókhoz igazodik mindenki. Felmerült egy olyan kérdés is, hogy miért olyan nehéz az életkori szinthez mérve a 4. osztályos matekfelvételi a 8. osztályoshoz képest. A válasz azonban nem is olyan bonyolult: más funkciót tölt be a két felvételitípus, a 4.-es felvételi feladata a tehetséges diákok kiszűrése (akik alkalmasak lesznek a nyolcosztályos gimnáziumi képzésre), míg a 8.-os felvételi a közepes színvonalú iskolák között is szét kell, hogy szórja a tanulókat. A közönség soraiban ülők is javasoltak néhány praktikát a motiváció felkeltésére, fenntartására: a feladatokon átívelő rendszerek (pl. matricák osztogatása, QR-kódok beépítése az órai munkába) alkalmasak lehetnek erre, mint ahogyan az is sokat segíthet, ha ismerjük a gyerekek személyiségét.

A matematika is lehet élmény- és valószerű

A kerekasztal-beszélgetést talán leginkább Koren Balázs meglátása foglalja össze, amely egyszersmind a tudósítás szentenciózus tanulságának is megfelel: bár törekedni kell az élményalapúság szerves beépítésére, nem szabad túlzásba vinni, mert az ál-érdekesség visszájára fordulhat – a jó arány megtalálása és a hitelesség a kulcs. A beszélgetésnek mindenképp nagy erénye volt, hogy a matematikaoktatásba közvetlenül beépíthető konkrétumokon kívül általánosságban is szolgált metareflexív megjegyzésekkel a pedagóguspályáról és praktikákkal a motiváció felkeltését illetően – nem kizárt, hogy következő történelem-témazárómat étlapnak álcázom majd.

A Medve Matek jövőbeli programjairól ezen a linken lehet tájékozódni.

Fotók: Drótos Márton (Medve Matek)